| 英文名 | Analytical Mechanics | |
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| 科目概要 | 物理学科 ２年 ３群科目 必修 ２単位 前期 15 コマ 講義 週1コマ 木2限 |
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| 科目責任者 | 佐々木 伸 | |
| 担当者 | 佐々木 伸 | |
| 備考 | 科目ナンバリング：SP301-PF29 |
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解析力学は、ニュートン力学の概念を拡張し、力学系を広く一般的に扱うことのできる強力な理論体系である。力学系をLagrange形式、およびHamilton形式で記述することで系が持つ対称性・保存則を深く理解する。単純な粒子系から連続体、電磁気学への応用までを見通し良く扱える理論的基盤を身につけ、量子力学、場の理論、一般および特殊相対性理論等への橋渡しを確実にすることを目指す。
座標、運動量、速度、力等の物理量を「一般化」した形式で扱う方法を説明する。 変分法、Lagrange運動方程式、Hamilton正準方程式等について講述する。対称性と保存則の関係を明白にする。正準形式について説明を行う。量子力学との繋がりを説明する。
板書を中心とした講義を行う。必要に応じて講義内容に沿った課題を課し、期末テストにより理解度を確認する。
| 回 | 項目 | 内容 |
|---|---|---|
| 1 | 解析力学とは | Newtonの運動方程式の復習。多粒子系の相互作用と運動方程式、剛体運動と力学変数、系の自由度について復習する。座標変換について学ぶ。一般化座標の概念を導入する。 |
| 2 | 最小作用の原理とEuler-Lagrange方程式 | 汎函数、仮想変位について学ぶ。様々な力学的原理、特に最小作用の原理とLagrangianについて学ぶ。変分法によりEuler-Lagrange方程式を導出する。 |
| 3 | Lagrangianによる運動の解析 | 適切なLagrangianからNewtonの運動方程式が再現されることを確認する。Lagrangianを用いて複雑な系（二重振り子、剛体等）の運動方程式を導出する。 |
| 4 | Lagrangianと対称性 | Lagrangianとその対称性について学ぶ。時間並進、空間並進、空間回転対称性について考察する。また、Galilei変換対称性、ゲージ対称性およびLorentz対称性について学ぶ。 |
| 5 | 対称性と保存則 | Lagrangianの対称性と保存則の関係、Noetherの定理について学ぶ。エネルギー、運動量、角運動量の保存則の起源について学ぶ。 |
| 6 | 拘束系 | 運動における拘束条件と自由度の取り扱いを学ぶ。Lagrangeの未定乗数法について学ぶ。 |
| 7 | Hamilton形式 | 一般化運動量およびLagrange形式とHamilton形式の関係について学ぶ。Legendre変換について学ぶ。 |
| 8 | Hamiltonの運動方程式、Poisson括弧、相空間 | Hamiltonの運動方程式（正準方程式）とPoisson括弧について学ぶ。相空間（phase space）について学ぶ。 |
| 9 | Hamilton形式による運動の解析 | Hamiltonの運動方程式を用いて具体的な物理系の運動を議論する。 |
| 10 | 正準変換と括弧積 | 正準形式、正準変換および母関数について学ぶ。正準変換とPoisson括弧、Lagrange括弧の関係について学ぶ。Dirac括弧について学ぶ。 |
| 11 | 正準変換の合成とLiouvilleの定理 | 相空間の幾何的性質について学ぶ。正準変換の合成と群構造について学ぶ。Liouvilleの定理について学ぶ。 |
| 12 | Hamilton-Jacobi理論 | Hamilton-Jacobi方程式について学ぶ。作用変数、角変数を導入する。 |
| 13 | 無限自由度力学系と場の理論 | 有限自由度系から無限自由度系への移行について議論する。場の理論について学ぶ。 |
| 14 | 古典力学から量子力学へ | 古典力学から量子力学への移行について学ぶ。正準量子化について学ぶ。 |
| 15 | まとめ | 全体の復習と確認 |
解析力学の原理・概念を把握し、力学の一般的な理論体系を理解することを到達目標とする。
特に
(1) 簡単な力学系についてLagrangianを構成し、運動方程式を導出できる
(2) Lagrangianの対称性と保存則について説明できる
(3) LagrangianからHamiltonianを導出し、その物理的意味を説明できる
(4) 正準形式とは何かを説明できる
ことを主目標とする。
期末テスト（100%）の割合で評価する。
【授業時間外に必要な学習時間：一回の授業に対し、240 分以上の予習復習が望ましい。】
予習：各項目の講義内容に前もって目を通し、理解が困難な概念や計算を把握しておく。
復習：講義内容の深い理解に努める。計算式については、講義中にすべての計算過程を明示することはしないため、自身で手を動かして確認することが必要である。講義中の課題では繰り返し同じ数学的手法を用いるので、講義ノートを見なくても独力で解けるように復習する。
該当教員なし
「微分積分Ⅰ・Ⅱ」、「力学Ⅰ・Ⅱ」の内容を十分に理解していることが必要となる。本講義の数学的手法は、「量子力学Ⅰ・Ⅱ」、「熱統計力学II」の基礎となる。
抽象的な内容を「難しい」と諦めることなく、時間をかけて頭を使って内容の理解を目指して欲しい。理解しないまま暗記をしてはいけない。定期試験終了後、Google Classroom に試験の講評を掲載する。
| 種別 | 書名 | 著者・編者 | 発行所 |
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| 教科書 | 解析力学 | 畑 浩之（著）、益川 敏英（監修）、植松 恒夫（編集）、青山 秀明（編集） | 東京図書 |
| 参考書 | 力学 （増訂第3 版） ランダウ=リフシッツ理論物理学教程 | ランダウ・リフシッツ | 東京図書 |