| 英文名 | Mathematical Physics | |
|---|---|---|
| 科目概要 | 理学研究科（修士課程） 分子科学専攻, 生物科学専攻 １～２年 ２単位 前期 15 コマ 講義 週1コマ 金5限 |
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| 科目責任者 | 中村 厚 | |
| 担当者 | 中村 厚、 佐々木 伸 | |
| 備考 | （関連科目） |
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場の理論のなかでも、とりわけゲージ理論は素粒子の基本的な相互作用の記述において本質的な役割を果たすのみでなく、数理物理的な観点からも極めて重要な研究対象である。この講義では、ゲージ理論の構造を詳細に理解し、その具体的な取扱いに習熟することを目的とする。特にゲージ理論の可積分系的な性質に焦点を当て、様々なトポロジカルソリトンが出現することを認識し、数理物理学が種々の数学的概念と接点をもつことを理解する。後半では場の理論にこだわらず、自然現象一般に現れるソリトンについても考察する。(SS1,SS2,SS3)
場の理論、特にゲージ理論の紹介と、これらと密接に関連する超対称性理論・トポロジカルソリトンについて詳細に解説する。
講義および演習、場合に応じて輪講形式で行う。
| 回 | 項目 | 内容 | 担当者 |
|---|---|---|---|
| 1 | 導入：場の量子論 | 特殊相対性理論の復習と古典場の理論の導入。対称性とネーターの定理 | 佐々木 伸 |
| 2 | 自由場の量子化 | 自由スカラー場および自由スピノル場の量子化。相互作用系の取り扱いと経路積分。 | 佐々木 伸 |
| 3 | ゲージ場の理論１ | ゲージ原理と接続の導入。Maxwell 理論と量子電磁気学、Abelian-Higgs 模型の導入。渦糸解の紹介。 | 佐々木 伸 |
| 4 | ゲージ場の理論２ | Non-Abelian ゲージ理論と Yang-Mills 方程式。量子色力学の紹介。自己双対（インスタントン）解と非摂動的量子効果。 | 佐々木 伸 |
| 5 | ゲージ場の理論３ | 自発的対称性の破れ。ʼt Hooft‒Polyakov モノポール解の紹介。 | 佐々木 伸 |
| 6 | 超対称ゲージ場の理論 | 超対称ゲージ場の理論の導入。 | 佐々木 伸 |
| 7 | Bogomol'nyi-Prasad-Sommerfield(BPS) 状態と古典解 |
BPS 状態と超対称性、トポロジカルソリトンの関係について。 | 佐々木 伸 |
| 8 | 非線形波動 | 線形方程式の復習。非線形現象の普遍性。 | 中村 厚 |
| 9 | ソリトン方程式１ | KdV 方程式・非線形シュレーディンガー方程式等、典型的ソリトン方程式の紹介。 | 中村 厚 |
| 10 | ソリトン方程式２ | 広田の直接法、逆散乱問題。 | 中村 厚 |
| 11 | トポロジカルソリトン | サイン・ゴルドン方程式等、場の理論に現れるソリトン方程式。 | 中村 厚 |
| 12 | ADHM 構成法１ | 自己双対 Yang-Mills 方程式の解法。 | 中村 厚 |
| 13 | ADHM 構成法２ | インスタントン解の構成。 | 中村 厚 |
| 14 | Nahm 構成法 | モノポール解とその構成。 | 中村 厚 |
| 15 | 全体の俯瞰 | これまでに取り扱った内容を俯瞰し、包括的な理解をする。 | 中村 厚 |
1) Yang-Mills 理論の構造について理解し、数学的な取扱いに習熟する。
2) モノポール・インスタントン等、各種トポロジカルソリトンの出現機構について理解する。
3) 自己双対 Yang-Mills 方程式と、古典可積分系の関連性を認識する。
4) ADHM/Nahm 構成法の取扱いについて習熟する。
レポート・論文紹介・計算細部の口頭発表などにより、
到達目標 1) -- 4) に対する理解度・到達度をみて評価する。
予習：電磁気学の復習は必須である。また、関連文献をあらかじめ配布するので、それらについて十分な予習をしておくこと。
復習：各回の内容をまとめ、各自が独立した講義ノートを作成する。
（なし）
（なし）
受講生へのフィードバックとして、学生の質問や発表内容に対して教員がコメントを行う。
| 種別 | 書名 | 著者・編者 | 発行所 |
|---|---|---|---|
| 教科書 | （なし） | ||
| 参考書 | 講義中に随時紹介する |